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AMC数学竞赛|问题汇总

已更新:2023年1月11日

AMC8将于2023年1月17日开考,YES教育中心作为官方认证考点现还有少量考位,报名从速,先到先得!

AMC 全称是 American Mathematics Competitions,即美国数学竞赛。AMC 的前身为美国中学数学考试 American High School Mathematics Examination(AHSME),是美国数学协会 MAA(Mathematics Association of America)管理下的最热门、历史最悠久的学术比赛之一。



1950 年,第一届 AMC 数学竞赛在纽约举行,它当时仅提供给纽约地区的大约 200 所学校的近 6,000 名学生。 如今,该竞赛已发展涉及 4,000 多所学校,每年有超过 30 万名学生参加。它是面向全球中学生的国际性数学竞赛,也当之无愧是世界上目前最热门的中学生数学竞赛


美国数学协会开展 AMC 数学竞赛的目的是加强美国年轻学子们对数学问题的解决能力。 通过课堂资源和友好竞争,MAA AMC 计划希望能够帮助美国的教育工作者发现人才并培养他们对数学的热爱,对创新社会中未来职业所需的分析技能产生积极影响。


这个竞赛还为美国培育世界数学奥林匹克(IMO)的国家队选手。通过 AMC 8、AMC 10、AMC 12、AIME 一系列 成熟的竞赛机制,AMC 的研究人员会从中找出绩优生参加美国数学奥林匹克(USAMO),再从中筛选出 24 至 30 位精英,参加暑期在大学举办的数学奥林匹克夏令营(MOSP)。再在夏令营中通过测试从其中选出六名队员代表美国参加世界数学奥林匹克比赛(IMO)。


目录


为什么参加 AMC 数学竞赛?


众所周知,世界一流大学的本科入学竞争异常激烈,标准化考试高分和在校成绩拔尖是大学招生时的必备项;但仅凭这两点还不能说明学生在深入思考、探索和研究方面的能力。


所以很多中、美、加的优秀学生在做到上述两项之余,会投入相当的精力在 AP / IB / SATII、高含金量学科竞赛和科研项目几个方向,力求取得领先于大部分同龄人的成就,从而证明学校成绩和标化考试无法反映的深入理解和研究前沿学术问题的潜力。



在上图所示的学术金字塔中,在最具竞争力的塔顶端,除了科研项目之外,竞赛类成绩对于学生申请美国本科有举足轻重的作用,尤其是颇具影响力的美国数学竞赛(AMC)是美国大学申请最有价值的竞赛和活动之一。


AMC 的成绩在选拔学生的过程中会扮演重要的角色。根据主流的申请网站和大学信息,MIT 、斯坦福、布朗等顶级大学已经把数学竞赛成绩排在了非常重要的参考因素之一。


从非学术的角度来讲,学习数学竞赛能开拓学生思维,把学过的一个概念应用于更综合、更深奥的问题中,培养深度思考的能力。遇到难题不畏惧,遇到简单题不骄躁,通过理智的分析,逐步解除复杂问题。这种解决问题的行为模式,能跳出学术的范畴,灵活应用到生活中,帮助学生取得成功。



AMC 竞赛的权威性

  1. 目前世界上可信度最高的数学测试

  2. 哈佛、麻省理工、普林斯顿三所顶级院校专家联合出题

  3. 美国数学竞赛委员会颁发获奖证书

  4. 每年超 30 万考生报名

  5. 成绩优异者将受邀参加更高级比赛


AMC 竞赛的级别与难度


AMC 竞赛分为4个级别,分别是:AMC8、AMC10、AMC12、AIME 四个等级。


AMC8


针对 8 年级及以下的初中生或更低年级的学生。考试题型与美国 7,8 年级数学考试大纲相对应,其测验目的是为了增进学生对数学习题解答的能力。


就难度而言 AMC8 比较基础,题目范围由易至难,还涵盖了较广泛的数学实际应用。AMC8 获得高分的学生,可在学校允许后,受邀参加 AMC10 的比赛。



AMC10


针对 10 年级及以下 8 年级以上的学生(部分 AMC8 的优秀学生也可以参加)。其中成绩为 AMC10 竞赛参加者的前 2.5%,可受邀参加美国数学邀请赛(AIME)。


AMC10 主要目的是在刺激学生对数学的兴趣并且透过以选择题方式来开发学生对数学的才能,且测验的题型虽有一些挑战性,但是都不会超过学生的学习范围,题型范围由易到难。从 2020 年开始分为 A 赛和 B 赛,参赛者可以任意选择其中一项参加。



AMC12


针对12年级及以下的学生(对应国内高一、高二、高三的学生)。其中成绩为 AMC12 竞赛参加者的前 5% 的,可受邀参加美国数学邀请赛(AIME)。


AMC12 难度较高,其主要目的是刺激学生对数学的兴趣并且透过选择题的方式来开启学生对数学的才能。题目范围由易至难。从 2020 年开始分为A赛和B赛,参赛者可以任意选择其中一项参加。



AIME


由 AMC10 的前 2.5% 和 AMC12 的前 5% 的参赛选手参加。是低于美国数学奥林匹克竞赛(USAMO)的一个数学竞赛,最主要的目的就是为美国奥数队选拔选手,优胜者会通过暑期集训筛选出最终的 6 位奥数国家队成员。


与 AMC10 和 AMC12 相比,AIME 提供了更进一步的挑战及认可,是四个级别中难度最高的。通过 AIME,可以让美国地区以外,在数学方面有优秀才能的学生通过国际性的数学测验提升了对自己的肯定。AIME 成绩优异的美国籍学生或在美国的合法居住者将再被邀请参加国数学奥林匹克竞赛(USAMO)数学测验。



AMC 竞赛形式及内容


ACM8

  • AMC8 竞赛一共 25 道选择题,考试时间 40 分钟,满分 25 分。答对得一分,不同于 AMC10 和AMC12,答错或不答并不扣分。

  • AMC8 在每年1月举行,2022 年 AMC8 考试时间1月18-24日(美东时间)早鸟注册截止日期:2021年10月31日

  • 常规报名截止日期:2021年12月5日 延迟注册截止日期:2021年12月10日


AMC8 知识点分布
  • 基础代数:整数、有理数、无理数、实数、数轴和直角坐标系;多元一次方程、简单二次方程、简单不等式;简单数列;基本代数技巧。

  • 基础几何:基础几何作图;平面欧氏几何,点、线、三角形、特殊四边形、圆;规则图形的周长和面积;基本平面几何技巧;规则立体几何图形。

  • 基础数论:奇偶分析、整除的性质、最小公倍数和最大公约数、同余问题。

  • 基础组合:韦恩图;排列、组合和概率入门;阶乘和二项式系数、杨辉三角形。


AMC8 例题


ACM10

  • AMC10 竞赛一共 25 道选择题,考试时间 75 分钟,满分 150 分,答对得 6 分,答错不得分,不答对 1.5分,2016 年起,AMC10 不再允许使用计算器

  • AMC10 在每年11月举办


AMC 10/12 A 卷
  • 早期鸟类注册截止日期:2021年9月24日

  • 常规注册截止日期:2021年10月15日

  • 延迟注册截止日期:2021年10月22日

  • 比赛日期:2021年11月10日上午8点(美东时间)


AMC 10/12 B 卷
  • 早期鸟类注册截止日期:2021年10月1日

  • 常规注册截止日期:2021年10月22日

  • 延迟注册截止日期:2021 年 10 月 29 日

  • 比赛日期:2021年11月16日上午8点(美东时间)


AMC10 知识点分布

  • 进阶代数:多项式,余数定理,韦达定理,根与系数的关系,特殊高次方程;进阶不等式、均值不等式;函数入门,定义域和值域、二次函数、指数函数、对数函数、简单三角函数;数列进阶;代数技巧进阶。

  • 进阶几何:进阶几何作图;三角形进阶、正弦定理、余弦定理、内切圆和外切圆、斯图瓦尔特定理、共点和共线;圆和四边形,四点共圆,圆的外切四边形;正多边形,角度,周长和面积;进阶平面几何技巧;解析几何入门。

  • 立体几何:点、线、面的关系,三维坐标系;立体几何作图;正多面体,欧拉公式;特殊的立体几何图形,立体几何技巧。

  • 进阶数论:数,数组和序列;模运算,复杂同余问题;整数、分数和小数,进制转换;基本丢番图方程,进阶数论技巧。

  • 进阶组合:容斥原理;二项式定理及相关结论;进阶排列、组合和概率;期望入门,递推、二分法,进阶组合方法。


AMC10 例题


ACM12

  • AMC12 竞赛一共 25 道选择题,考试时间 75 分钟,满分 150 分,答对得 6 分,答错不得分,不答对 1.5分,

  • AMC12 通常在每年 11 月举办


AMC 10/12 A 卷
  • 早期鸟类注册截止日期:2021年9月24日

  • 常规注册截止日期:2021年10月15日

  • 延迟注册截止日期:2021年10月22日

  • 比赛日期:2021年11月10日上午8点(美东时间)


AMC 10/12 B 卷
  • 早期鸟类注册截止日期:2021年10月1日

  • 常规注册截止日期:2021年10月22日

  • 延迟注册截止日期:2021 年 10 月 29 日

  • 比赛日期:2021年11月16日上午8点(美东时间)


AMC12 知识点分布,在 AMC10 基础上新增:
  • 进阶代数:复杂不等式、调和不等式、轮换不等式、柯西不等式;复杂函数问题,反函数和符合函数,三角函数和差化积、积化和差,万能公式;复数,复平面,欧拉公式,蒂莫夫公式;数学归纳法、复杂数列和极限。

  • 进阶几何:圆相关几何进阶;数形结合,二维、三维图形的函数表达,进阶解析几何;不规则二维、三维图形的处理;二维向量,三维向量。

  • 进阶数论:二次余数,高次余数、费马圣诞节定理、费马小定理;各类丢番图方程的解法。

  • 进阶组合:随机过程和期望。复杂组合问题技巧。

  • 基本综合问题。




AIME

  • AIME竞赛考试时间3小时,一共15题,均为应用题,满分15分,一题一分,答错不扣分。不允许使用计算器,前几道题为AMC12水平难度,最后的难度会相当有挑战性。

  • AIME通常在每年三月下旬举办。


AIME 知识点分布
  • 高阶代数:不等式专题、综合函数问题和复数专题、数列和极限专题。

  • 高阶几何:圆专题、射影几何专题;解析几何专题,立体几何专题。

  • 高阶数论:模运算专题;丢番图方程专题。

  • 高阶组合:组合中的方法论专题。

  • 进阶综合问题。


AIME 例题


推荐理由

  1. AMC 题目大部分题目都很新颖,题型多变,非常有利于提高学生的学习兴趣。

  2. AMC 侧重点在于对知识点的考察, 所需要用到的都是平时常见或者是很经典的解题方式。增加学生对基础知识点的掌握。

  3. AMC 题目由美国知名大学的名师设计,命题扎实且多为独创,非常有利于扩展学生的视野和解题思路。

  4. AMC 题目选项设计独到且合理,皆采用多元数学观念命题,非常有利于学生创新思维和创新能力的培养。

  5. 通过参加 AMC 系列竞赛,可以对自己的数学学习有一个清晰的了解,明白哪些方面是自己的强项和弱项,在以后的数学学习中更具有针对性。

  6. AMC 数学竞赛能开拓学生思维,培养深度思考的能力和遇到难题不畏惧,遇到简单题不骄躁,学会理智分析,逐步解决复杂问题的能力。并把这种解决问题的行为模式,过渡应用到生活中。

  7. AMC 竞赛成绩帮助增加申请竞争力,不管是美国国内的学生或是国际学生都非常重要。


FAQ 常见问题


Q:AMC 在哪报名?有官网吗?

A:YES教育中心是AMC官方授权的考点,可以直接联系我们报名,竞赛官方网站:https://www.maa.org/math-competitions



Q:2022-2023年度AMC报名时间及考试时间是?

A:AMC8在2023年1月17日考试,可以在YES教育中心报名并考试



Q:AMC 考选择题还是填空题?满分是多少?


A:考试不同,题型设置不同,满分也不一样。AMC8 共25道选择题,每题一分,满分25分;AMC10/12 共25道选择题,每题6分,满分150分;AIME 共15道选择题,每题一分,满分15分。



Q:AMC10/12 A卷和B卷选择哪一个参加?可以同时参加吗?


A:AMC10和12每年会进行效力相同、难度相近的两次考试,即A卷和B卷。两份试卷除了考试时间不一样外,其他并无太大区别,大家根据自己的时间随意参加一个即可,不必想太多。AMC10/12的A卷会在11月11日同时进行,AMC10/12的B卷会在11月17日同时进行,考生可以选择参加A卷和B卷的一场或者两场考试。当然了,小A老师建议大家AMC10和12可以同时报名,相当于多了一次考试机会。大家可以通过以下四种方式报考:

  • AMC10A+AMC12B

  • AMC10B+AMC12A

  • AMC10A+AMC10B

  • AMC12A+AMC12B


Q:美国学校的学生可以报名国内的考试吗?不是北京考生,我在外地,可以报名参加吗?


A:加拿大高中或加拿大初中的同学可以跟着学校一起报名,也可以报国内的考试,但同一场考试不能同时报名。不过A卷和B卷可以分开报名,比如A卷考美国的,B卷考国内。现在AMC都可以线上考试,不受地区限制,因此,不是温哥华地区的考生也可以报名。



Q: AMC 都有什么奖项?


A:不同考试,奖项设置也有所不同,为大家具体列出:


☞ AMC8奖项设置

  • 满分奖 Perfect Score

  • 在AMC8活动中取得满分奖项

  • 全球卓越奖 Honor Roll of Distinction(全球排名前1%)

  • 全球优秀奖 Certificate of Distinction(全球排名前5%)

  • 全球荣誉奖 Certificate of Achievement (6年级及以下在AMC8中获得15分以上)


AMC10 奖项设置

  • 全球卓越奖 Honor Roll of Distinction(全球排名前1%)

  • 全球优秀奖 Certificate of Distinction(全球排名前5%)

  • 全球荣誉奖 Certificate of Achievement(8年级及以下在AMC10中获得90分以上)

  • AIME参赛资格证书 AIME QUAL

  • 达到AIME晋级分数线,收到邀请即可获得本证书


☞ AMC12 奖项设置

  • 全球卓越奖 Honor Roll of Distinction(全球排名前1%)

  • 全球优秀奖 Certificate of Distinction(全球排名前5%)

  • 全球荣誉奖 Certificate of Achievement(10年级及以下在AMC10中获得90分以上)

  • AIME参赛资格证书 AIME QUAL

  • 达到AIME晋级分数线,收到邀请即可获得本证书


Q: AMC 做题过程中需要注意什么吗?


A:建议大家在做题过程中注意以下5个方面:


❶ 严格控制答题正确率


在平常训练中,注重按照难度梯度严格要求自己,基础题(1-15)正确率在90%以上,拔高题(16-20)正确率要在60%以上,挑战题(21-25)正确率要在40%以上



❷ 严格控制做题时间


基础题(1-15)35分钟,拔高题(16-20)20分钟,挑战题(21-25)20分钟



❸ 完全不会做的题不要猜


❹ 必要时请使用排除法和代入法


❺ 要认真读题,绝不可跳跃性读题



Q: AMC8 历年分数线是多少?


A:2012年-2022年 AMC8 分数线参照下图:



Q: AMC10/12 晋级AIME的比例大概在多少?


A:2012-2021年AMC10/12晋级AIME比例参照下图:



Q:我是8年级考生,今年刚刚通过拿下AMC8 5%的奖项,想要备考AMC10/12,怎么了解自己的能力是否适合备考?以及自己的短板在哪?


A:很多人现在都在经历这个阶段,针对大家的情况,我们也将为大家推出免费测评活动。从几何、数论、代数、组合四个方面,为大家进行精选题目,并组织大家线上限时答题。根据大家的表现,一线AMC授课教师将给予专属备考建议。活动报名即将开始,请大家持续关注。针对AMC8的诊断活动也在筹备中,敬请期待。



Q:AMC10/12会考到哪些重难知识点?


A:AMC10/12 重难点如下,供参考:


AMC10


➤ 代数部分

复杂数列问题、二次函数的整数根问题


➤ 几何部分

融合了相似、角平分线定理等的解三角形问题、立体几何问题


➤ 组合部分

分类讨论思想解计数或概率问题、复杂几何概率与条件概率问题


➤ 数论部分

约数问题、余数问题以及进制问题



AMC12


➤ 代数部分

多项式函数的韦达定理的应用、对数函数与数列的融合问题、复数平面相关问题


➤ 几何部分

正弦定理与余弦定理+托勒密定理(四点共圆)+复杂立体几何问题


➤组合部分

概率方程


➤ 数论部分

同余方程



Q:AMC8 都考哪些知识点?什么是最重要的?


A:知识点会涵盖数论、数列、代数、计数原理、概率统计、几何问题、逻辑推理与想象,涉及到质数、因数、等差数列、集合、概率、面积、体积、平行关系、逻辑问题、空间抽象等近30个考点。其中数列和代数问题等问题是初二至高中才能学到的知识,所以要重点去学习。此外,数论也要重点学习。



Q:AMC 的试卷中试题难度是依次递增的吗?


A:是的,就像其他考试一样,AMC 试卷也遵循先易后难的试题难度。无论是AMC8,还是AMC10/12,试均为25道题,1-15题为基础题,要保证正确率,尽可能不丢分;16-20题为拔高题,要求较高,计算量和技巧要求相对较高,若想取得奖项,至多错一题才可以(平时要对自己严格要求);21-25题为压轴题,正确率要保证在50%以上。



Q:AIME是不管考几分都有证书吗?


A:AIME只有分数,没有特定的证书,但会有成绩证明单。‍‍‍‍



Q:AMC10/12有年级限制吗?


A:根据组委会规定,高一或高一以下学生可以报名参加AMC10的比赛;高三或高三以下的学生可以报名参加AMC12的比赛。



Q:AMC10 A/B卷难度构成是什么?


A:AMC10A/B卷难度相当。考试包括代数、几何、排列组合和数论的知识点,题目难度递增。每年的AMC10和12会有一些题目上的重复,AMC10中的后几题可能会出现在AMC12的前几题中。刷题过程中,AMC10和12的练习可以联动起来。



Q: AMC10考试内容有哪些?


A:AMC10在覆盖AMC8知识点基础之上,还多出些内容,同样重视学生分析、解决问题的能力,其中问题涉及的知识点可能不是很复杂,但由于其问题设计新颖,学生需要较高的思维和推理能力才能较好的完成。



Q:若想晋级AIME,孩子需要答对多少道题才可以?


A:AMC10/12 不答题可得1.5分,答错得0分,如果没有十足把握,建议不填。


考试中答对题目的数量尤为重要,以2019年A卷为例,如果你只答对14道题,就算其他题一题不填,依然无法达到AIME晋级线;以2019年B卷为例,如果你只答对15道题,就算其他题一题不填,依然无法达到AIME晋级线;要想晋级AIME,答对题目数量在17个以上是相对稳妥的。


在AMC10考试的25道题中,1-10题相对简单,一定要全部拿下;10-15题难度递增,但只能错1-2个;15-20题可以答对1-2个,错2-3个;20-25题尽可能答对1-2个题。

 


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